บทนำพีชคณิตเชิงเส้น: เรขาคณิตของสมการค่าเฉพาะ

สมการค่าเฉพาะ $Ax = \lambda x$ แสดงถึงเงื่อนไขทางเรขาคณิตที่หายาก ซึ่งการแปลงเมทริกซ์จะกระทำเพียงแค่โดยการขยายเวกเตอร์ โดยไม่หมุนเวกเตอร์นั้น ขยาย เวกเตอร์ แทนที่จะหมุนเวกเตอร์ ซึ่งเวกเตอร์เหล่านี้ที่มีลักษณะพิเศษ $x$ จะกำหนดแกนหลักของการแปลงเชิงเส้น

เรขาคณิตของความพิเศษ

สำหรับเวกเตอร์ больш่าส่วนใหญ่ $Ax$ จะชี้ไปในทิศทางที่ต่างจาก $x$ เวกเตอร์เฉพาะ (eigenvectors) มีลักษณะพิเศษ เพราะพวกมันอยู่บนแนวเดียวกัน (เส้นตรง) ผ่านจุดกำเนิด ค่าเฉพาะ $\lambda$ บอกเราถึงขนาดของการขยาย:

$|\lambda| > 1$: การเติบโต (การยืดออก)
$|\lambda| < 1$: การลดลง (การหดตัว)
$\lambda < 0$: การกลับทิศทาง (การพลิกทิศทาง)

ข้อจำกัดด้านความเป็นเอกภาพ

สมการ $Ax = \lambda x$ สามารถเขียนใหม่ได้เป็น $(A - \lambda I)x = 0$ เพื่อให้มีคำตอบ $x$ ที่ไม่ใช่ศูนย์ แมทริกซ์ $(A - \lambda I)$ ต้องเป็น เอกภาพ (ไม่สามารถหาเมทริกซ์ย้อนกลับได้) หมายความว่าดีเทอร์มิแนนต์ต้องเป็นศูนย์: $\det(A - \lambda I) = 0$

เอกลักษณ์และการเลื่อน

หากเราเลื่อนเมทริกซ์ด้วยเมทริกซ์เอกลักษณ์ เวกเตอร์เฉพาะจะยังคงเหมือนเดิม แต่ค่าเฉพาะจะเปลี่ยนไป 1 หน่วย:

$Ax = \lambda x \implies (A+I)x = Ax + Ix = \lambda x + x = (\lambda + 1)x$

จากแบบจำลองการฉายไปยังการสะท้อน

การเข้าใจเรขาคณิตของการฉาย $P$ ช่วยให้เราสร้างการสะท้อน $R$ ผ่านตัวดำเนินการเชิงเส้น $R = 2P - I$

หาก $x$ เป็นเวกเตอร์เฉพาะของ $P$ ที่มีค่าเฉพาะ $\lambda$ แล้ว:

$Rx = (2P - I)x = 2(Px) - Ix = 2(\lambda x) - x = (2\lambda - 1)x$

นี่เป็นเหตุผลที่ทำให้การฉาย (ค่าเฉพาะ 1 และ 0) เปลี่ยนเป็นการสะท้อน (ค่าเฉพาะ 1 และ -1)

สูตรหลัก

ค่าเฉพาะและเวกเตอร์เฉพาะหาได้จากการแก้สมการ $\det(A - \lambda I) = 0$ หาก $A$ เป็นเมทริกซ์ 2×2 และเป็นเอกภาพ แถวของมันจะเป็นพหุคูณของ $(a, b)$ และเวกเตอร์เฉพาะคือ $(b, -a)$

$Ax = \lambda x \quad | \quad R = 2P - I$

คำถามที่ 1

เมทริกซ์ชนิดใดที่เมทริกซ์ A และ B อยู่ในกลุ่มนี้ ถ้าเมทริกซ์ A ฉายเวกเตอร์ลงบนเส้นตรง และเมทริกซ์ B สะท้อนเวกเตอร์ผ่านเส้นตรงเดียวกัน?

A: การฉาย, B: มาร์คอฟ

A: การฉาย, B: ตั้งฉาก

A: การสลับตำแหน่ง, B: สามารถแยกตัวประกอบได้

A: สามารถหาเมทริกซ์ย้อนกลับได้, B: การฉาย

คำถามที่ 2

แก้ระบบ $du/dt = Au$ โดยที่ $A = [0, 1; 1, 0]$ และ $u(0) = [4, 2]$

$u(t) = 3e^t[1, 1] + e^{-t}[1, -1]$

$u(t) = 4e^t[1, 0] + 2e^{-t}[0, 1]$

$u(t) = e^{2t}[3, 1] + e^{-2t}[1, 1]$

$u(t) = 2e^t[1, 1] + 2e^{-t}[1, -1]$

คำถามที่ 3

หากมีการเปลี่ยนแปลงเมทริกซ์ $\Delta A$ สูตรสำหรับการเปลี่ยนแปลงค่าเฉพาะ $\Delta \lambda_1, \dots, \Delta \lambda_n$ คืออะไร?

$diag(S \Delta A S^{-1})$

$diag(S^{-1} \Delta A S)$

$diag(\Delta A S)$

$S^{-1} diag(\Delta A) S$

คำถามที่ 4

หาก $J = [\lambda, 1; 0, \lambda]$ รูปแบบของ $J^k$ สำหรับจำนวนเต็มทั่วไป $k$ คืออะไร?

$[\lambda^k, k; 0, \lambda^k]$

$[\lambda^k, k\lambda^{k-1}; 0, \lambda^k]$

$[\lambda^k, 1; 0, \lambda^k]$

$[k\lambda, 1; 0, k\lambda]$

คำถามที่ 5

หาค่าเฉพาะของ $A = [1, 4; 2, 3]$ และ $A + I = [2, 4; 2, 4]$ ข้อความใดต่อไปนี้ถูกต้อง?

$A+I$ มีเวกเตอร์เฉพาะต่างจาก $A$

ค่าเฉพาะของ $A+I$ เปลี่ยนไป 1 หน่วยเมื่อเทียบกับ $A$

ดีเทอร์มิแนนต์ของ $A+I$ เท่ากับ $A$

$A+I$ ไม่เป็นเอกภาพเพราะ $A$ เป็นเอกภาพ

ความท้าทาย: การแยกตัวประกอบ SVD และความไวในพื้นที่ท้องถิ่น

กำหนด $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 6 \end{bmatrix}$ หาค่าเฉพาะและเวกเตอร์เฉพาะหน่วยของ $A^T A$ จากนั้นทำการแยกตัวประกอบ SVD แล้วประเมินเครื่องหมายของค่าเฉพาะในพื้นที่ท้องถิ่น

1. หาค่าเฉพาะของ $A^T A = \begin{bmatrix} 10 & 20 \\ 20 & 40 \end{bmatrix}$ และเวกเตอร์เฉพาะหน่วย $v_1, v_2$

$A^T A$ เป็นเอกภาพ ดังนั้น $\lambda_2 = 0$ ผลรวมของสมาชิกตามแนวทแยงคือ 50 ดังนั้น $\lambda_1 = 50$ เวกเตอร์เฉพาะของ $\lambda_1$ คือ $v_1 = \frac{1}{\sqrt{5}}(1, 2)$ เวกเตอร์เฉพาะของ $\lambda_2$ คือ $v_2 = \frac{1}{\sqrt{5}}(2, -1)$

2. หา $u_1 = Av_1/\sigma_1$ และตรวจสอบว่าเป็นเวกเตอร์เฉพาะหน่วยของ $AA^T$

$\sigma_1 = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$. $Av_1 = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 6 \end{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} = \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{bmatrix} 5 \\ 15 \end{bmatrix}$
หารด้วย $5\sqrt{2}$ ได้ $u_1 = \frac{1}{\sqrt{10}} \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix}$ ตรวจสอบ: $AA^T u_1 = \begin{bmatrix} 5 & 15 \\ 15 & 45 \end{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{10}} \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix} = \frac{1}{\sqrt{10}} \begin{bmatrix} 50 \\ 150 \end{bmatrix} = 50 u_1$. ถูกต้อง

3. สมมุติว่าการทดสอบ 2x2 ที่ $a > 0$ และ $ac - b^2 > 0$ ผ่าน (i) ทำไม $\lambda_1, \lambda_2$ ถึงมีเครื่องหมายเดียวกัน? (ii) ทำไมเครื่องหมายนั้นถึงเป็นบวก?

(i) ผลคูณ $\lambda_1 \lambda_2$ เท่ากับดีเทอร์มิแนนต์ ($ac - b^2$) ซึ่งเป็นบวก (ii) ผลรวม $\lambda_1 + \lambda_2$ เท่ากับผลรวมแนวทแยง ($a + c$) เนื่องจาก $a>0$ และ $c > b^2/a > 0$ ผลรวมแนวทแยงจึงเป็นบวก